Produit des diviseurs version 2 – Bac Pratique 2016 [ Algorithme + Python ]

Algo et Python 17-09-24

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Sujet bac informatique pratique 2017 (Bac scientifique)

Etant donné un entier N qui vérifie la propriété suivante : Le produit des diviseurs de n sauf lui-même est égale à une puissance de n avec un exposant > 0

Exemples :

N=6 vérifie cette propriété car le produit de ses diviseurs sauf lui-même est égal à 6 (1*2*3=6) qui est une puissance de 6, avec un exposant =1(car 6=6¹)

N=12 vérifie cette propriété car le produit de ses diviseurs sauf lui-même est égal à 144 (1*2*3*4*6=144) qui est une puissance de 12, avec un exposant =2(car 144=12²)

N=30 vérifie cette propriété car le produit de ses diviseurs sauf lui-même est égal à 27000 (1*2*3*5*6*10*15=27000) qui est une puissance de 30, avec un exposant =3(car 27000=30³)

N=9 ne vérifie pas cette propriété car le produit de ses diviseurs sauf lui-même est égal à 3 (1*3=3) qui n’est pas une puissance de 9.

N=11 ne vérifie pas cette propriété car le produit de ses diviseurs sauf lui-même est égal à 1qui est une puissance de 11, avec un exposant égal à 0.

On se propose d’écrire un programme Python permettant de déterminer et d’afficher tous les nombres de [a,b] ( avec 2≤a≤b≤100) vérifiant la propriété donnée ci-dessus.

Solution Algorithmique

Pour résoudre ce problème, nous devons identifier les nombres dans l'intervalle qui vérifient la propriété suivante : le produit de tous les diviseurs du nombre $N$ , sauf lui-même, est une puissance de $N$ avec un exposant strictement supérieur à 0.

Approche algorithmique :

1. Trouver les diviseurs d’un nombre :

Pour chaque , nous devons trouver tous ses diviseurs. Les diviseurs de sont tous les nombres qui divisent sans reste.

Ensuite, on exclut lui-même de la liste des diviseurs.

2. Calculer le produit des diviseurs sauf :

On calcule le produit de tous les diviseurs sauf .

3. Vérifier si le produit est une puissance de :

Le produit des diviseurs est une puissance de si ce produit peut s'écrire sous la forme , où est un entier strictement supérieur à 0.

Pour vérifier cela, il suffit de diviser le produit par de façon répétée jusqu'à ce que le résultat soit égal à 1. Si on atteint 1 en un nombre d'itérations , alors le produit est une puissance de .

4. Parcourir tous les nombres dans l'intervalle :

On parcourt tous les nombres de à et on applique la vérification ci-dessus pour chaque nombre.

Dans cet algorithme, On va utiliser deux fonctions et deux procédures :

Algorithme du programme principal

Algorithme produits_diviseurs
Debut
      saisie_ab()
      afficher(a,b)
Fin

Algorithme produits_diviseurs

Debut

saisie_ab()

afficher(a,b)

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
a	entier
b	entier

La procédure saisie_ab

Cette procédure saisit deux entiers a et b tel que 2 ≤ a < b ≤ 100

Procedure saisie_ab():
Début
    Ecrire('donner un entier a entre 2 et 100:') 
    lire (a) 
    Tant que a<2 ou a>100 faire 
       Ecrire('donner un entier a entre 2 et 100:') 
       lire (a) 
    Fin tant que
    
    Ecrire('donner un entier b tq "+a+"<b<=100: ') 
    lire (b) 
    Tant que b<a ou b>100 faire 
        Ecrire('donner un entier b tq "+a+"<b<=100: ') 
        lire (b) 
    Fin tant que
Fin

Procedure saisie_ab():

Début

Ecrire('donner un entier a entre 2 et 100:')

lire (a)

Tant que a<2 ou a>100 faire

Ecrire('donner un entier a entre 2 et 100:')

lire (a)

Fin tant que

Ecrire('donner un entier b tq "+a+"<b<=100: ')

lire (b)

Tant que b<a ou b>100 faire

Ecrire('donner un entier b tq "+a+"<b<=100: ')

lire (b)

Fin tant que

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
a	entier
b	entier

La fonction produit_diviseurs

Cette fonction calcule le produit des diviseurs de n sauf lui-même.

Fonction produit_diviseurs(n:entier):entier
Début
     p<-1
     Pour i de 1 à n div 2 faire
       Si (n div i =0) alors
          p<-p*i
       Finsi
     Fin pour
     retourner p 
Fin

Fonction produit_diviseurs(n:entier):entier

Début

p<-1

Pour i de 1 à n div 2 faire

Si (n div i =0) alors

p<-p*i

Finsi

Fin pour

retourner p

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
i	entier
p	entier

La fonction test_puissance

Cette fonction vérifie si le produit des diviseurs est une puissance de n

Fonction test_puissance(n:entier,m:entier):booleen
Début
     p<-n
     Tant que (p<m) faire 
        p<-p*n
     Fin tant que
     retourner p=m
Fin

Fonction test_puissance(n:entier,m:entier):booleen

Début

p<-n

Tant que (p<m) faire

p<-p*n

Fin tant que

retourner p=m

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
p	entier

La procédure afficher

Cette procédure affiche les nombres qui vérifient la propriété : "le produit des diviseurs de n sauf lui-même est une puissance de n".

Procédure affiche(n:entier)
Début
     Pour i de a à b faire
        Si (i=test_puissance(i,produit_diviseurs(i))) alors
          Ecrire(i)
        Fin si
     Fin pour
Fin

Procédure affiche(n:entier)

Début

Pour i de a à b faire

Si (i=test_puissance(i,produit_diviseurs(i))) alors

Ecrire(i)

Fin si

Fin pour

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
i	entier

Solution en Python

def saisie_ab() :  
    global a,b
    
    a=int(input("donner un entier a entre 2 et 100: "))
    while(a<2) or (a>100) :
      a=int(input("donner un entier a entre 2 et 100: "))
    
    b=int(input("donner un entier b tq "+str(a)+"<b<=100: "))
    while(b<a) or (b>100) :
      b=int(input("donner un entier b tq "+str(a)+"<b<=100: "))
    
def produit_diviseurs(n):
     p=1;
     for i in range(1,(n//2) +1):
          if (n % i==0):
             p=p*i
     return p
    
def test_puissance(n,m):
     p=n
     while (p<m) :         
        p=p*n
        
     return p==m

def afficher(a,b):
     for i in range(a,b+1):
        if (test_puissance(i,produit_diviseurs(i))):
          print(str(i))
 

# programme principal
saisie_ab()
afficher(a,b)

def saisie_ab() :

global a,b

a=int(input("donner un entier a entre 2 et 100: "))

while(a<2) or (a>100) :

a=int(input("donner un entier a entre 2 et 100: "))

b=int(input("donner un entier b tq "+str(a)+"<b<=100: "))

while(b<a) or (b>100) :

b=int(input("donner un entier b tq "+str(a)+"<b<=100: "))

def produit_diviseurs(n):

p=1;

for i in range(1,(n//2) +1):

if (n % i==0):

p=p*i

return p

def test_puissance(n,m):

p=n

while (p<m) :

p=p*n

return p==m

def afficher(a,b):

for i in range(a,b+1):

if (test_puissance(i,produit_diviseurs(i))):

print(str(i))

# programme principal

saisie_ab()

afficher(a,b)

Exécution du programme

Solution en Python et Designer QT

Pour créer une application en Python pour afficher tous les nombres de l’intervalle [a,b] (avec 2 ≤ a < b ≤ 100), vérifiant la propriété donnée ci-dessus. en utilisant Qt Designer pour l'interface graphique, suivez ces étapes :

1- Créer l'interface graphique avec Qt Designer

a- Ouvrez Qt Designer et créez un nouveau fichier de type Main Window.

b- Ajoutez ces widgets:

QPushButton nommé 'afficher_bt' pour exécuter le module affichage().

QLabel nommé 'msg' pour afficher un message d'erreur

QLabel nommé 'resultat' pour afficher les nombres

QLineEdit nommé 'a' pour entrer un entier.

QLineEdit nommé 'b' pour entrer un entier.

Enregistrez le fichier avec l'extension .ui, par exemple somme_diviseurs.ui.

2- Créer le script Python pour l'application

Voici un exemple de script Python qui utilise l'interface graphique générée par Qt Designer.

from PyQt5.uic import loadUi
from PyQt5 import QtCore, QtGui
from PyQt5.QtWidgets import *
from PyQt5 import QtCore, QtGui, QtWidgets

app = QApplication([])
windows = loadUi ("produit_diviseurs.ui")

def produit_diviseurs(n):
     p=1;
     for i in range(1,(n//2) +1):
          if (n % i==0):
             p=p*i
     return p
    
def test_puissance(n,m):
     p=n
     while (p<m) :         
        p=p*n
        
     return p==m    

def affichage():
  a = int(windows.a.text())
  b = int(windows.b.text())
  cp=0
  windows.msg.clear()
  if 2<=a<b<=100 :
     liste='' 
     for i in range(a,b+1):
        if (test_puissance(i,produit_diviseurs(i))):
          liste=liste+str(i)+'  '
          cp=cp+1
          if cp % 10 == 0:
             liste=liste+'\n'
     windows.resultat.setText(liste)     
  else:
    windows.msg.setText('Veuillez saisir a et b tq 2<=a<b<=100')    
  

windows.afficher_bt.clicked.connect(affichage)

windows.show()
app.exec_()