Nombre K-parfait – Bac Pratique 2015 [ Algorithme + Python ]

Algo et Python 05-09-24

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Sujet bac informatique pratique 2015 (Bac scientifique)

Un nombre P est appelé k-parfait si et seulement si la somme de tous les diviseurs positifs de P, y compris 1 et lui-même, est égale à k*P. Avec k un entier naturel donnée.

Exemple :

28 est 2-parfait, car la somme de ses diviseurs est 56=2*28

120 est 3-parfait, car la somme de ses diviseurs est 360=3*120 ;

Ecrire un programme Python qui permet de chercher et d’afficher tous les nombres de l’intervalle [N, M] avec 10 < N ≤ M < 31000 qui sont 2-parfaits suivis par ceux qui sont 3-parfaits sur une autre ligne et ceux qui sont 4-parfaits sur une autre ligne.

Solution Algorithmique

Algorithme pour calculer les diviseurs d’un nombre :

Pour chaque nombre P de l'intervalle [N, M] :

1. Trouver tous les diviseurs de P en divisant P par les nombres compris entre 1 et p div 2 (seule la première moitié des diviseurs est calculée, et la seconde moitié est obtenue en prenant P / diviseur).

2. Calculer la somme de tous ces diviseurs, y compris P lui-même.

Vérification de la condition de k-parfait :

Pour chaque nombre P :

a) Si la somme des diviseurs est égale à 2 * P, ajouter P à la liste des nombres 2-parfaits.

b) Si la somme des diviseurs est égale à 3 * P, ajouter P à la liste des nombres 3-parfaits.

c) Si la somme des diviseurs est égale à 4 * P, ajouter P à la liste des nombres 4-parfaits.

Affichage des résultats :

Après avoir parcouru tous les nombres dans l'intervalle, afficher :

Les nombres 2-parfaits.

Les nombres 3-parfaits.

Les nombres 4-parfaits.

Dans cet algorithme, On va utiliser deux fonctions et une procédure:
Algorithme du programme principal

Algorithme nombre_kparfait
Debut
     saisie()
     recherche_kparfait(n,m)
Fin

Algorithme nombre_kparfait

Debut

saisie()

recherche_kparfait(n,m)

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
i	entier
n	entier
m	entier

La procédure saisie

Cette procédure saisit deux entiers m et n tel que 100≤n

Procedure saisie():
Début
    Ecrire('donner un entier entre 10 et 31000') 
    lire (n) 
    Tant que n<10 ou n>31000 faire 
       Ecrire('donner entre 10 et 31000') 
       lire (n) 
    Fin tant que
    
    Ecrire('donner un entier m tq '+n+'<m<=31000:') 
    lire (m) 
    Tant que m<n ou m>31000 faire 
       Ecrire('donner un entier m '+n+'<m<=31000:') 
       lire (m) 
    Fin tant que  
 Fin

Procedure saisie():

Début

Ecrire('donner un entier entre 10 et 31000')

lire (n)

Tant que n<10 ou n>31000 faire

Ecrire('donner entre 10 et 31000')

lire (n)

Fin tant que

Ecrire('donner un entier m tq '+n+'<m<=31000:')

lire (m)

Tant que m<n ou m>31000 faire

Ecrire('donner un entier m '+n+'<m<=31000:')

lire (m)

Fin tant que

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
n	entier
m	entier

La fonction test_kparfait

Cette fonction vérifie la condition de k-parfait pour un entier donné

fonction test_kparfait(n:entier,k:entier):booleen
Début
     s<-1+n
     Pour i de 2 à n div 2 faire
       Si n div i=0 alors
          s<-s+i 
       Fin si
     Fin pour 
     retourner (s=k*n); 
Fin

fonction test_kparfait(n:entier,k:entier):booleen

Début

s<-1+n

Pour i de 2 à n div 2 faire

Si n div i=0 alors

s<-s+i

Fin si

Fin pour

retourner (s=k*n);

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
i	entier
k	entier

La procédure recherche_kparfait

Cette procédure parcourt tous les nombres dans l'intervalle [n,m] et affiche :

Les nombres 2-parfaits.

Les nombres 3-parfaits.

Les nombres 4-parfaits.

Prcodédure recherche_kparfait(n:entier,m:entier)
Début
     Pour k de 2 à 4 faire
        Ecrire('les entiers '+str(k)+'-parfaits')
        Pour i de n à m faire
           Si (test_kparfait(i,k)) alors
               Ecrire (i)
           Fin si
        Fin pour
     Fin pour
Fin

Prcodédure recherche_kparfait(n:entier,m:entier)

Début

Pour k de 2 à 4 faire

Ecrire('les entiers '+str(k)+'-parfaits')

Pour i de n à m faire

Si (test_kparfait(i,k)) alors

Ecrire (i)

Fin si

Fin pour

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
i	entier
k	entier

Solution en Python

def saisie() :
    global n,m
    n=int(input("donner un entier entre 10 et 31000: "))
    while(n<10) or (n>31000) :
      n=int(input("donner un entier entre 10 et 31000: "))
      
    m=int(input('donner un entier m tq '+str(n)+'<m<=31000:'))
    while(m<n) or (m>31000) :
      m=int(input("donner un entier m tq "+str(n)+'<m<=31000:'))  
    
def test_kparfait(n,k):
     s=1+n
     for i in range(2, (n // 2)+1) :
         if n % i==0 :
           s=s+i                   
    
     return (s==k*n); 

def recherche_kparfait(n,m):
     for k in range(2,5):
          print('les entiers '+str(k)+'-parfaits')
          for i in range(n,m+1):
               if (test_kparfait(i,k)):
                 print (str(i),end=' ')
          print('');
     

#programme principal
saisie()
recherche_kparfait(n,m)

def saisie() :

global n,m

n=int(input("donner un entier entre 10 et 31000: "))

while(n<10) or (n>31000) :

n=int(input("donner un entier entre 10 et 31000: "))

m=int(input('donner un entier m tq '+str(n)+'<m<=31000:'))

while(m<n) or (m>31000) :

m=int(input("donner un entier m tq "+str(n)+'<m<=31000:'))

def test_kparfait(n,k):

s=1+n

for i in range(2, (n // 2)+1) :

if n % i==0 :

s=s+i

return (s==k*n);

def recherche_kparfait(n,m):

for k in range(2,5):

print('les entiers '+str(k)+'-parfaits')

for i in range(n,m+1):

if (test_kparfait(i,k)):

print (str(i),end=' ')

print('');

#programme principal

saisie()

recherche_kparfait(n,m)

Exécution du programme

Solution en Python et Designer QT

Pour créer une application en Python pour afficher tous les nombres k_parfait dans un intervalle où $en utilisant Qt Designer pour l'interface graphique, suivez ces étapes :$

1- Créer l'interface graphique avec Qt Designer

a- Ouvrez Qt Designer et créez un nouveau fichier de type Main Window.

b- Ajoutez ces widgets:

QLineEdit nommé 'n' pour entrer un entier entre 10 et 31000.

QLineEdit nommé 'm' pour entrer un entier m tq n=QPushButton nommé 'kparfait_bt' pour exécuter le module recherche_kparfaite.

QLabel nommé 'msg' pour afficher un message d'erreur.

QLabel nommé 'resultat' pour afficher les nombres kparfait.

Enregistrez le fichier avec l'extension .ui, par exemple parfait-interface.ui.

2- Créer le script Python pour l'application

Voici un exemple de script Python qui utilise l'interface graphique générée par Qt Designer.

from PyQt5.uic import loadUi
from PyQt5 import QtCore, QtGui
from PyQt5.QtWidgets import *
from PyQt5 import QtCore, QtGui, QtWidgets

app = QApplication([])
windows = loadUi ("k-parfait-interface.ui")

def test_kparfait(n,k):
     s=1+n
     for i in range(2, (n // 2)+1) :
         if n % i==0 :
           s=s+i                   
    
     return (s==k*n); 
    
def recherche_kparfait() :
  n = int(windows.n.text())
  m = int(windows.m.text())
  windows.msg.clear()
  windows.resultat.clear()
  if 10<=n<=m<=31000 :
    liste=''
    for k in range(2,5):
          liste=liste+'les entiers '+str(k)+'-parfaits \n'
          for i in range(n,m+1):
               if (test_kparfait(i,k)):
                  liste=liste+str(i)+'   '
          liste=liste+'\n' # retour a la ligne apres affichage de 5  entiers
    windows.resultat.setText(liste)
  else:
     windows.msg.setText('Veuillez saisir n et m tq 10<=n<=m<=31000')    

windows.kparfait_bt.clicked.connect(recherche_kparfait)

windows.show()
app.exec_()