Nombre lisse – Examen pratique informatique – 2022 [ Bac scientifique ]

Algo et Python 23-10-24

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Sujet bac informatique pratique 2022 (Bac scientifique)

Un nombre N est dit lisse lorsque son plus grand diviseur premier est inférieur ou égal à la racine carrée du nombre N.

Exemples :

- N = 60, les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30 et 60. Son plus grand diviseur premier est 5 et puisque 5  √60=7.746…, donc 60 est un nombre lisse.

- N = 49, les diviseurs de 49 sont : 1, 7 et 49. Son plus grand diviseur premier est 7 et puisque 7  √49=7 donc 49 est un nombre lisse.

- N = 22, les diviseurs de 22 sont : 1, 2, 11 et 22. Son plus grand diviseur premier est 11 et puisque 11 > √22=4.690…, donc 22 n’est pas un nombre lisse.

Pour vérifier si un entier naturel N (N > 1) est un nombre lisse ou non, on propose un algorithme et un programme Python.

Solution Algorithmique

Dans cet algorithme, On va utiliser deux fonctions et une procédure :

Algorithme du programme Principal

Algorithme nombre_lisse
Debut
     n<-saisie_entier()
     verif_lisse(n)
Fin

Algorithme nombre_lisse

Debut

n<-saisie_entier()

verif_lisse(n)

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
n	entier

La fonction saisie_entier

Cette fonction saisit un entier > 1.

fonction saisie_entier():entier
Début
       Ecrire("donner un entier >= 2)
       Lire(n)
       Tant que (n<2) faire
           Ecrire("donner un entier >= 2) 
           Lire(n)
       Fin tant que
       retourner n
Fin

fonction saisie_entier():entier

Début

Ecrire("donner un entier >= 2)

Lire(n)

Tant que (n<2) faire

Ecrire("donner un entier >= 2)

Lire(n)

Fin tant que

retourner n

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
n	entier

La fonction verif_premier

Cette fonction vérifie si un entier est premier.

fonction verif_premier(n:entier):booleen
Début
     Si (n>2) alors
       i<-2
       # recherche des diviseurs possibles
       Tant que (i<(n div 2)) et (n mod i!=0) alors
         i<-i+1
       Fin tant que
       retourner (n mod i!=0) 
     Sinon si n=2 alors
       return Vrai
     Fin si 
Fin

fonction verif_premier(n:entier):booleen

Début

Si (n>2) alors

i<-2

# recherche des diviseurs possibles

Tant que (i<(n div 2)) et (n mod i!=0) alors

i<-i+1

Fin tant que

retourner (n mod i!=0)

Sinon si n=2 alors

return Vrai

Fin si

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
i	entier

La procédure verif_lisse

Cette prcédure vérifie si un nombre est un nombre lisse et affiche le résultat de la vérification..

Procedure verif_lisse(n:entier)
Début
     x<-1 
     Si verif_premier(n)=Faux alors
        Pour i de 2 à (n div 2)+1) alors
           Si (n mod i =0) et verif_premier(i) alors
              x<-i
           Fin si
        Fin pour
        # En cas de l'existance de plus grand premier diviseur
        # verifier s'il est <= racine carre de n 
        Si x!=-1 and x<=racine_carre(n) alors 
           Ecrire(x+' est plus grand diviseur premier de '+n)
           Ecrire(n+' est un nombre lisse')
        Sinon
           Ecrire(n+" n'est pas un nombre lisse") 
        Fin si
     Sinon
        Ecrire(n+" n'est pas un nombre lisse")
     Fin si 
Fin

Procedure verif_lisse(n:entier)

Début

x<-1

Si verif_premier(n)=Faux alors

Pour i de 2 à (n div 2)+1) alors

Si (n mod i =0) et verif_premier(i) alors

x<-i

Fin si

Fin pour

# En cas de l'existance de plus grand premier diviseur

# verifier s'il est <= racine carre de n

Si x!=-1 and x<=racine_carre(n) alors

Ecrire(x+' est plus grand diviseur premier de '+n)

Ecrire(n+' est un nombre lisse')

Sinon

Ecrire(n+" n'est pas un nombre lisse")

Fin si

Sinon

Ecrire(n+" n'est pas un nombre lisse")

Fin si

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
i	entier
x	entier

Solution en Python

from math import *

def saisie_entier():
    n=int(input("donner un entier >1: "))
    while (n<2):
       n=int(input("donner un entier >1: "))
    return n

def verif_premier(n):
    if (n>2):
      i=2
      # recherche des diviseurs possibles
      while (i<(n//2)) and (n % i!=0):
        i=i+1
        
      return (n % i!=0)   
     
    elif n==2:
      return True 

def verif_lisse(n):
   x=-1 
   if verif_premier(n)==False :
      for i in range(2,(n//2)+1):
        if (n % i ==0) and verif_premier(i) :
           x=i
           
      # En cas de l'existance de plus grand premier diviseur
      # verifier s'il est <= racine carre de n     
      if x!=-1 and x<=sqrt(n): 
        print(str(x)+' est plus grand diviseur premier de '+str(n))
        print(str(n)+' est un nombre lisse')
      else :
        print(str(n)+" n'est pas un nombre lisse")  
   else:
        print(str(n)+" n'est pas un nombre lisse")
                    

#programme principal
n=saisie_entier()
verif_lisse(n)

from math import *

def saisie_entier():

n=int(input("donner un entier >1: "))

while (n<2):

n=int(input("donner un entier >1: "))

return n

def verif_premier(n):

if (n>2):

i=2

# recherche des diviseurs possibles

while (i<(n//2)) and (n % i!=0):

i=i+1

return (n % i!=0)

elif n==2:

return True

def verif_lisse(n):

x=-1

if verif_premier(n)==False :

for i in range(2,(n//2)+1):

if (n % i ==0) and verif_premier(i) :

x=i

# En cas de l'existance de plus grand premier diviseur

# verifier s'il est <= racine carre de n

if x!=-1 and x<=sqrt(n):

print(str(x)+' est plus grand diviseur premier de '+str(n))

print(str(n)+' est un nombre lisse')

else :

print(str(n)+" n'est pas un nombre lisse")

else:

print(str(n)+" n'est pas un nombre lisse")

#programme principal

n=saisie_entier()

verif_lisse(n)

Exécution du programme:

Solution en Python et Designer QT

Pour créer une application en Python et Designer QT qui saisit un nombre >1 et vérifie s'il est un nombre lisse , on va suivre ces étapes:

1- Créer l'interface graphique avec Qt Designer

a- Ouvrez Qt Designer et créez un nouveau fichier de type Main Window.

b- Ajoutez ces widgets:

QLineEdit nommé 'n' pour entrer un entier >2.

QPushButton nommé 'verifier_bt' pour vérifier si n est un nombre lisse

QLabel nommé 'msg' pour afficher des messages d'erreur et le résultat de la vérification du nombre.

Enregistrez le fichier avec l'extension .ui, par exemple nombre_lisse-interface.ui.

2- Créer le script Python pour l'application

Voici un exemple de script Python qui utilise l'interface graphique générée par Qt Designer.

from PyQt5.uic import loadUi
from PyQt5.QtWidgets import QApplication
from math import *



app = QApplication([])
windows = loadUi ("nombre_lisse-interface.ui")


def verif_premier(n):
    if (n>1):
      i=2
      # recherche des diviseurs possibles
      while (i<(n//2)) and (n % i!=0):
        i=i+1
        
      return (n % i!=0)   
     
    elif n==2:
      return True 

def play():
 windows.msg.clear() 
 n = int(windows.n.text())
 if n > 2 : 
     x=-1 
     if verif_premier(n)==False :
       for i in range(2,(n//2)+1):
         if (n % i ==0) and verif_premier(i) :
            x=i    
       # En cas de l'existance de plus grand premier diviseur
       # verifier s'il est <= racine carre de n     
       if x!=-1 and x<=sqrt(n):
         resultat_test=str(x)+' est plus grand diviseur premier de '+str(n)+'\n'
         resultat_test=resultat_test+ str(n)+' est un nombre lisse'
       else :
         resultat_test=str(n)+" n'est pas un nombre lisse"  
     else:  
         resultat_test=str(n)+" n'est pas un nombre lisse"
         
     windows.msg.setText(resultat_test)
   
 else:
    windows.msg.setText(" Veuillez introduire un nombre > 1 ")
         

windows.verifier_bt.clicked.connect(play)

windows.show()
app.exec_()