Suite Aliquote – Bac Pratique 2014 [ Algorithme + Python ]

Algo et Python 21-08-24

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Sujet bac informatique pratique 2014 (Bac scientifique)

Une suite Aliquote est une suite d’entiers dans laquelle chaque terme Un (avec n>0) est la somme des diviseurs propres du terme qui le précède (U_n-1). Quand la suite atteint la valeur 1, elle s’arrête car 1 ne possède pas de diviseurs propres.

N.B : les diviseurs propres d’un nombre sont tous ses diviseurs sauf lui-même.

Exemple : Pour U₀ les termes de la suite Aliquote de 12 seront calculés comme suit :

Les diviseurs propres de 12 sont 1,2,3,4 et 6 donc U₁=1+2+3+4+6=16

Les diviseurs propres de 16 sont 1,2,4 et 8 donc U₂=1+2+4+8=15

Les diviseurs propres de 15 sont 1,3 et 5 donc U₃=1+3+5=9

Les diviseurs propres de 9 sont 1 et 3 donc U₄=1+3=4

Les diviseurs propres de 4 sont 1 et 2 donc U₅=1+2=3

Les diviseurs propres de 3 sont 1 donc U₆=1

La suite Aliquote de 12 est 12 16 15 9 4 3 1

Travail demandé :

Ecrire un programme Python qui permet de saisir U₀ avec U₀≥10 et d’afficher les termes de la suite et afficher si la suite est Aliquode ou non.

N.B : Le calcul des termes de la suite s’arrête dans l’un des deux cas suivants :

Lorsqu’on atteint la valeur 1 et dans ce cas la suite est Aliquote.

Lorsque la valeur d’un nouveau terme est égale à la valeur de son précédent (U_n=U_n-1) et dans ce cas la suite n’est pas Aliquote.

Solution Algorithmique

Pour résoudre ce problème, voici le principe de l'algorithme à suivre :

1. Saisie de la valeur initiale U0

Demander à l'utilisateur de saisir une valeur initiale U0 avec la contrainte que U0 doit être supérieur ou égal à 10.

2. Calcul des termes de la suite

Initialiser la valeur actuelle de la suite Un à U0.

Boucle de calcul des termes :

Tant que Un n'est ni égal à 1 ni égal à la valeur précédente Un-1 :

a) Calculer les diviseurs propres de Un.

b) Faire la somme des diviseurs propres pour obtenir le nouveau terme Un+1.

c) Mettre à jour la valeur de Un avec Un+1.

3. Conditions d'arrêt

- Si la valeur de Un devient 1, la suite est Aliquote. Afficher la suite complète et indiquer qu'elle est Aliquote.

- Si la valeur de Un est égale à Un-1 (c'est-à-dire que la suite devient constante), arrêter le calcul. Afficher la suite complète et indiquer qu'elle n'est pas Aliquote.

4. Affichage des résultats

Afficher tous les termes de la suite calculée.

Indiquer si la suite est Aliquote ou non.

Dans cet algorithme, On va utiliser deux fonctions et une procédure :

Algorithme du programme principal

Algorithme test_suite_aliquote
Debut
     u0<-saisie_u0()
     suite_aliquote(u0)
Fin

Algorithme test_suite_aliquote

Debut

u0<-saisie_u0()

suite_aliquote(u0)

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
u0	entier

La fonction saisie_u0

Cette fonction retourne un entier >= 10 saisi par l'utilisateur.

fonction saisie_u0():entier
Début
    Ecrire('donner un entier >= 10 ') 
    lire (n) 
    Tant que n<10 faire 
       Ecrire('donner un entier >= 10 ') 
       lire (n) 
    Fin tant que 
    retourner n  
Fin

fonction saisie_u0():entier

Début

Ecrire('donner un entier >= 10 ')

lire (n)

Tant que n<10 faire

Ecrire('donner un entier >= 10 ')

lire (n)

Fin tant que

retourner n

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
n	entier

La fonction somme_diviseurs

Cette fonction calcule la somme des diviseurs propres de l'entier n excepté lui-même.

fonction somme_diviseurs(n:entier):entier
Début
     s<-0
     Pour i de 1 à n div 2 faire 
        Si (n mod i=0) alors
          s<-s+i
        Fin si
     Fin pour
     retourner s
Fin

fonction somme_diviseurs(n:entier):entier

Début

s<-0

Pour i de 1 à n div 2 faire

Si (n mod i=0) alors

s<-s+i

Fin si

Fin pour

retourner s

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
i	entier
s	entier

La procédure somme_diviseurs

Cette procédure calcule la somme des diviseurs propres de l'entier n excepté lui-même.

Procedure suite_aliquote(u:entier)
Début
     i<-0
     Ecrire('U',i,'=',u)
     u<-somme_diviseurs(u) 
     v<-0
     Tant que (u>1) et (u!=v) faire
        v<-u
        i<-i+1
        Ecrire('U',i,'=',u)
        u<-somme_diviseurs(u) 
        Ecrire('U',i,'=',u)
     Fin tant que

     Si (u=1) alors
       Ecrire('cette suite est Aliquode')
     Sinon
       Ecrire('cette suite est non Aliquode')
     Fin si
Fin

Procedure suite_aliquote(u:entier)

Début

i<-0

Ecrire('U',i,'=',u)

u<-somme_diviseurs(u)

v<-0

Tant que (u>1) et (u!=v) faire

v<-u

i<-i+1

Ecrire('U',i,'=',u)

u<-somme_diviseurs(u)

Ecrire('U',i,'=',u)

Fin tant que

Si (u=1) alors

Ecrire('cette suite est Aliquode')

Sinon

Ecrire('cette suite est non Aliquode')

Fin si

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
i	entier
u	entier
v	entier

Solution en Python

def saisie_u0() :
    n=int(input('donner un entier >= 10: '))
    while  n<10 :
         n=int(input('donner un entier >= 10: '))
    return n

def somme_diviseurs(n):
     s=0
     for i in range(1,n//2+1): 
          if (n % i==0):
            s=s+i
     return s
    
def suite_aliquote(u):
     i=0
     print('U',i,'=',u)
     u=somme_diviseurs(u)  
     v=0
     while (u>1) and (u!=v):
       v=u
       i=i+1
       print('U',i,'=',u)
       u=somme_diviseurs(u)      
             
     print('U',i,'=',u)
     if (u==1):
       print('cette suite est Aliquode')
     else:
       print('cette suite est non Aliquode')
    

#programme principal
u0=saisie_u0()
suite_aliquote(u0)

def saisie_u0() :

n=int(input('donner un entier >= 10: '))

while n<10 :

n=int(input('donner un entier >= 10: '))

return n

def somme_diviseurs(n):

s=0

for i in range(1,n//2+1):

if (n % i==0):

s=s+i

return s

def suite_aliquote(u):

i=0

print('U',i,'=',u)

u=somme_diviseurs(u)

v=0

while (u>1) and (u!=v):

v=u

i=i+1

print('U',i,'=',u)

u=somme_diviseurs(u)

print('U',i,'=',u)

if (u==1):

print('cette suite est Aliquode')

else:

print('cette suite est non Aliquode')

#programme principal

u0=saisie_u0()

suite_aliquote(u0)

Exécution du programme

Solution en Python et Designer QT

Pour créer une application en Python pour saisir U₀ avec U₀≥10 et d’afficher les termes de la suite et afficher si la suite est Aliquode ou non en utilisant Qt Designer pour l'interface graphique, suivez ces étapes :

1- Créer l'interface graphique avec Qt Designer

a- Ouvrez Qt Designer et créez un nouveau fichier de type Main Window.

b- Ajoutez ces widgets:

QLineEdit nommé 'u' pour entrer un entier >=10.

QPushButton nommé 'test_bt' pour exécuter le module suite_aliquote.

QLabel nommé 'msg' pour afficher un message d'erreur.

QLabel nommé 'resultat' pour afficher les termes de la suite et afficher si la suite est Aliquode ou non.

Enregistrez le fichier avec l'extension .ui, par exemple suite_aliquote-interface.ui.

2- Créer le script Python pour l'application

Voici un exemple de script Python qui utilise l'interface graphique générée par Qt Designer.

from PyQt5.uic import loadUi
from PyQt5 import QtCore, QtGui
from PyQt5.QtWidgets import *
from PyQt5 import QtCore, QtGui, QtWidgets

app = QApplication([])
windows = loadUi ("suite_aliquote-interface.ui")

def somme_diviseurs(n):
     s=0
     for i in range(1,n//2+1): 
          if (n % i==0):
            s=s+i
     return s
    
def suite_aliquote():
  i=0
  liste=''
  u=int(windows.u.text())
  if u>=10 :
     liste=liste+'U'+str(i)+'='+str(u)+'\n'
     u=somme_diviseurs(u)  
     v=0
     while (u>1) and (u!=v):
       v=u
       i=i+1
       liste=liste+'U'+str(i)+'='+str(u)+'\n'
       u=somme_diviseurs(u)      
     print('U',i,'=',u)        
     liste=liste+'U'+str(i)+'='+str(u)+'\n'
     if (u==1):
       liste=liste+'cette suite est Aliquode' 
     else:
       liste=liste+'cette suite est non Aliquode'
     windows.resultat.setText(liste)
  else:
     windows.msg.setText('Donner u>=10')
     
      
windows.test_bt.clicked.connect(suite_aliquote)

windows.show()
app.exec_()